BLE를 활용한 실내 위치 측위 (4) - 삼변측량 기법을 사용하기 위한 예비지식

제가 작성하고 있는 BLE를 활용한 실내 위치 측위 시리즈는 삼변측량 기법을 다룰 예정입니다. 현재까지 나온 실내 위치 측위 기법 중 삼변측량 기법은 정확도가 낮은 편에 속하지만, 이 분야에 입문하시거나 흥미를 붙이고 계신 분들이 가볍게 다루기 좋은 기법이라고 생각합니다.

 

삼변측량 기법의 위치 정확도가 매우 낮은 이유 중 하나는 불안정한 RSSI에서 기인됩니다. 따라서 칼만 필터를 사용하여 RSSI를 전처리하는 과정을 이전 글에서 다뤘었습니다. 이번 글에선 삼변측량 기법을 사용하기 위한 예비지식을 소개합니다. 더 높은 위치 정확도를 원하시는 분들은 이 글을 읽기 전 아래 글을 먼저 보고 오시는걸 추천 드립니다.

 

BLE를 활용한 실내 위치 측위 (3) - 칼만 필터(Kalman Filter)를 활용한 RSSI 전처리

 

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1. 두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식을 구하는 방법

 

 

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식을 알고 계시면 삼변측량 기법의 계산 과정을 더욱 쉽게 이해하실 수 있습니다. 아래는 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할 두 원의 방정식입니다.

 

$$ (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 = r_1^2 $$

$$ (x-a_2)^2 + (y-b_2)^2 = r_2^2 $$

 

직선의 방정식을 구하는 계산 방법은 매우 간단합니다. 두 원의 방정식을 연립하여 동류항끼리 뺄셈합니다.

 

$$ (x-a_1)^2 + (y-b_1)^2 - ((x-a_2)^2 + (y-b_2)^2) = r_1^2 - r_2^2 $$

 

위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

 

$$ 2(a_2-a_1)x + 2(b_2-b_1)y + a_1^2 + b_1^2 - a_2^2 - b_2^2 = r_1^2 - r_2^2 $$

 

어려운 부분은 없을 것이로 생각됩니다. 그렇다면 간단한 문제 하나를 풀어볼까요?

 

$$ x^2 + y^2 =4^2 $$

$$ (x-2)^2 + (y-3)^2 = 3^2 $$

 

위 식은 교점을 지나는 직선의 방정식을 구할 두 원의 방정식입니다. 두 방정식은 아래와 같이 연립하여 구할 수 있습니다.

 

$$ x^2 + y^2 - ( (x-2)^2 + (y-3)^2 ) = 4^2 - 3^2 $$

$$ = 4x + 6y - 4 - 9 + 7 = 0 $$

\[\therefore 4x + 6y - 4 = 0\]

 

 

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2. 삼변측량이란?

 

삼변측량은 세 점으로부터의 직선거리를 사용하여 사용자의 위치(좌표)를 구하는 기법입니다.

 

 

위 그림에서 검은 점 AP (Anchor Point)는 사용자가 송신하는 비콘 메시지 (광고 패킷)를 지속적으로 수신합니다. 그리고 수신된 비콘 메시지의 RSSI로 AP와 사용자의 거리를 대략 계산할 수 있습니다. RSSI를 활용한 거리 계산법을 모르시는 분들은 아래 링크를 참조해주세요.

 

AP와 사용자의 거리가 4m라고 가정해봅시다.

 

BLE를 활용한 실내 위치 측위 (2) - RSSI를 활용한 거리 구하기

 

 

 

우리는 RSSI의 거리 공식을 활용하여 AP와 사용자의 거리가 4m임을 알아냈습니다. 즉, 사용자의 위치는 주황색 원의 둘레 중 어딘가로 추측할 수 있습니다. 여기서 하나의 AP를 더 추가해볼까요?

 

 

한 개의 AP가 추가되면 그 AP와 사용자의 거리에 대한 반지름을 갖는 원이 하나 더 생깁니다. 그리고 두 개의 원이 접하는 부분이 생깁니다. 두 원이 접하는 부분에 사용자가 있음을 예측할 수 있습니다. 이전에 한 개의 AP만 있을 때보다 훨씬 높은 확률로 사용자의 위치를 특정할 수 있게 되었습니다.

 

 

한 개의 AP가 더 추가되면 세 원이 교차하는 지점이 생기고 사용자의 위치를 확실하게 특정할 수 있습니다. 이렇듯 삼변측량은 3개 이상의 AP가 요구됩니다. 4개의 AP를 사용하는 사변측량 기법은 삼변측량보다 높은 위치 정확도를 얻을 수 있습니다. 하지만 그만큼 1개의 AP를 설치하는 비용이 더 많이 들게 되겠죠.

 

다음 글에선 삼변측량 기법의 계산 과정과 코드, 그리고 실제 상황을 가정한 데이터를 가지고 사용자의 위치를 구해보겠습니다.